📐 瓜豆原理 · 直线型与曲线型

如图， A 是 ⊙B 上任意一点，点 C 在 ⊙B 外，已知 AB＝2，BC＝4 ， △ACD 是等边三角形，则 △BCD 的面积的最大值 为 4√3 + 4 ．

如图，线段 AB 为 ⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， AB＝4，BC＝2 ，点 P 是 ⊙O 上一动点，连接 CP，以 CP 为斜边在 PC 的上方作 Rt△PCD ，且使 ∠DCP＝60° ，连接 OD，则 OD 长的最大值 为（ C ） A．√19 B．2√3 C．2√3 + 1 D．4

如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，以点 C 为圆心，2 为半径作圆， P 是 ⊙C 上的任意一点，将点 P 绕点 D 按逆时针方向旋转 90°，得到点 Q ，连接 BQ，则 BQ 的最大值 是（ A ） A．6 B．4√2 + 2 C．2√2 + 4 D．2√3 + 4

四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 P 是平面内一点，且满足 BP⊥PC ，现将点 P 绕点 D 顺时针旋转 90 度得到点 Q，则 CQ 的最大值 ＝ 2√13 + 2 ．

如图，线段 AB＝4 ， M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到线段 PC ，连接 AC，则 线段 AC 长度的最大值 是 3√2 ．

如图， AB＝4 ， O 为 AB 的中点， ⊙O 的半径为 1，点 P 是 ⊙O 上一动点，以 PB 为直角边的等腰直角三角形 PBC （点 P、B、C 按逆时针方向排列），则 线段 AC 的长的取值范围 为 √2 ≤ AC ≤ 3√2 ．

1．如图，点 A 是双曲线 y＝4/x 在第一象限上的一动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B ，以 AB 为斜边作等腰 Rt△ABC ，点 C 在第二象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ C ） A．y＝﹣¼x B．y＝﹣½x C．y＝﹣4/x D．y＝﹣2/x

2．在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3 ， D 是以点 A 为圆心，2 为半径的圆上一点，连接 BD， M 为 BD 的中点，则 线段 CM 长度的最大值 为（ B ） A．7 B．3.5 C．4.5 D．3

3．如图，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，AC＝4，BC＝3 ，点 O 是 AB 的三等分点，半圆 O 与 AC 相切， M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和 是（ B ） A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，一次函数 y＝2x 与反比例函数 y＝k/x（k＞0） 的图象交于 A，B 两点，点 P 在以 C（﹣2，0） 为圆心，1 为半径的 ⊙C 上， Q 是 AP 的中点，已知 OQ 长的最大值为 3/2 ，则 k 的值为（ C ） A．49/32 B．25/18 C．32/25 D．9/8

5．如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝2，AD＝3 ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将 △AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到 △A′EF ，则 A′C 的长的最小值 是（ D ） A．√13 / 2 B．3 C．√13 - 1 D．√10 - 1

6．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2√3 ， △ADC 与 △ABC 关于 AC 对称，点 E、F 分别是边 DC、BC 上的任意一点，且 DE＝CF ，BE、DF 相交于点 P ，则 CP 的最小值 为（ D ） A．1 B．√3 C．3/2 D．2

7．如图， ⊙O 的直径 AB＝4 ， P 为 ⊙O 上的动点，连结 AP， Q 为 AP 的中点，若点 P 在圆上运动一周，则 点 Q 经过的路径长 是 2π ．

8．如图，已知点 A 是第一象限内的一个定点，若点 P 是以 O 为圆心， 2 个单位长 为半径的圆上的一个动点，连接 AP，以 AP 为边向 AP 右侧作 等边三角形 APB ．当点 P 在 ⊙O 上运动一周时， 点 B 运动的路径长 是 4π ．

9．如图， ⊙O 的半径为 3， AB 为圆上一动弦，以 AB 为边作 正方形 ABCD ，求 OD 的最大值 3√2 + 3 ．

10．如图，在平面直角坐标系中， B（0，4），A（3，0） ， ⊙A 的半径为 2， P 为 ⊙A 上任意一点， C 是 BP 的中点 ，则 OC 的最大值 是 3.5 （或 7/2） ．

11．如图，点 C 是半圆 AB 上一动点，以 BC 为边作 正方形 BCDE （使弧 BC 在正方形内），连 OE，若 AB＝4cm ，则 OE 的最大值 为 2√2 + 2 cm．

12．如图，点 O 为坐标原点， ⊙O 的半径为 1，点 A（2，0） ，动点 B 在 ⊙O 上，连接 AB，作 等边 △ABC （A，B，C 为顺时针顺序），求 OC 的最大值与最小值 ．

13．如图，点 O 在线段 AB 上， OA＝1，OB＝2 ，以点 O 为圆心、OA 长为半径的圆为 ⊙O ，在 ⊙O 上取动点 P ，以 PB 为边作 △PBC ，使 ∠PBC＝90°，tan∠PCB＝½ ，P、B、C 三点为逆时针顺序，连接 AC，求 AC 的取值范围 ．

14．已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，OD⊥AC 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 AE． （1）求证： AE 与 ⊙O 相切 ； （2）连接 BD，若 ED:DO＝3:1，OA＝9 ，求 AE 的长； （3）若 AB＝10，AC＝8 ，点 F 是 ⊙O 任意一点，点 M 是弦 AF 的中点 ，当点 F 在 ⊙O 上运动一周，则 点 M 运动的路径长 为 5π ．

15．若 AC＝4 ，以点 C 为圆心，2 为半径作圆，点 P 为该圆上的动点，连接 AP． （1）如图1，取点 B，使 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点 P 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 AP′．①点 P′ 的轨迹是 圆 ；②CP′ 的最小值是 4√2 - 2 ； （2）如图2，以 AP 为边作等边 △APQ（A、P、Q 顺时针排列），求 CQ 的最大值 ； （3）如图3，将点 A 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到点 M，连接 PM，则 CM 的最小值 为 4 - 2√2 ．

16．如图，直线 y＝﹣5x+5 与 x 轴、y 轴交于 A、C 两点，抛物线 y＝x²+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴另一交点为 B． （1）求抛物线解析式； （2）点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，当 S △ABM = (3/5)S △ABC 时，求点 M 的坐标； （3）如图2，以 B 为圆心，2 为半径的 ⊙B 与 x 轴交于 E、F 两点（F 在 E 右侧），P 是 ⊙B 上一动点，以 PA 为腰作等腰 Rt△PAD（∠PAD＝90°，P、A、D 逆时针） ，连接 FD，求 FD 长度的取值范围 ．