【实战演练15】等边三角形动点旋转120°与EA加EC最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，点 D 是等边三角形 ABC 的 AC 上的动点．连接 DB，将 DB 绕点 D 逆时针旋转 120° 得到 DE，连接 EA，EC，若 AB＝2，直接写出 EA+EC 的最小值．

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 动点与相似构造：延长 AC 到 F 使 CF = BC = 2。易证 △EDB ∽ △FCB，从而 △EBF ∽ △DBC。
2. 确定点 E 轨迹：由相似得 ∠EFB = ∠DCB = 60°，故点 E 在过点 F 且与 BF 夹角为 60° 的定直线 FE 上运动！
3. 将军饮马求 EA + EC：A 与 C 位于直线 FE 同侧。找点 C 关于直线 FE 的对称点 C'，则 EA + EC = EA + EC' ≥ AC'。
4. 极值计算：由对称与矩形性质推得四边形 ABFC' 是矩形，故 AC' = BF = √(2² + 2² - 2×2×2×cos 120°) = 2√3。

📝 完整推导与几何证明

① 延长 AC 到 F，使 CF = BC = 2：
    ∵ △ABC 为等边三角形，DB 绕点 D 逆时针旋转 120° 得 DE，
    ∴ ∠EDF = ∠FCB = 120°，且 ED/BD = FC/BC = 1；
    ∴ △EDB ∽ △FCB，∴ ∠DBE = ∠CBF，进而 ∠DBC = ∠EBF；
    又 BD/BC = BE/BF，∴ △EBF ∽ △DBC，∴ ∠EFB = ∠DCB = 60°；
    因此，从动点 E 在射线 FE 上运动；
② 对称点转化 EA + EC：
    作点 C 关于 FE 的对称点 C'，则 EC = EC'；
    由对称性：∠EFC' = ∠EFC = 30°，故 ∠C'FB = 90°；
    又 ∠ABF = 60° + 30° = 90°，∴ C'F ∥ AB；
    易知四边形 ABFC' 是矩形，∴ AC' ⊥ FC' 且 AC' = BF；
③ 计算 BF 长度：
    在 △BCF 中，BC = 2, CF = 2, ∠BCF = 180° - 60° = 120°，
    由余弦定理或等腰三角形中线：BF = 2 × 2 · cos 30° = 2√3；
    ∴ (EA + EC)_min = AC' = BF = 2√3。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： EA + EC 的最小值为 2√3（约 3.464）