【实战演练14】矩形折线动点旋转与DF最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 E 在折线 BCD 上运动，将 AE 绕点 A 顺时针旋转得到 AF，旋转角等于 ∠BAC，连接 CF．
（1）当点 E 在 BC 上时，作 FM⊥AC，垂足为 M，求证：AM＝AB；
（2）当 AE＝3√2 时，求 CF 的长；
（3）连接 DF，点 E 从点 B 运动到点 D 的过程中，试探究 DF 的最小值．

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 第一阶段（E 在 BC 上）：易证 △ABE ≌ △AMF (AAS)，得 AM = AB = 4。点 F 在过 M 垂直于 AC 的射线 FM 上运动，当 DF ⊥ FM 时，求得 DF 局部最小值为 11/5 = 2.2。
2. 第二阶段（E 在 CD 上）：将 AD 绕点 A 顺时针旋转 ∠BAC 得到 AR，易证 △ADE ≌ △ARF (SAS)，得点 F 在直线 RF 上运动。
过 D 作 DK ⊥ FR 于 K，计算得出此时 DF 局部最小值为 3/5 = 0.6。
3. 综合极值对比：比较两段折线上的极值：3/5 < 11/5，故整个运动过程中 DF 的全局最小值为 3/5。

📝 完整推导与几何证明

① 证明 (1) AM = AB：
    在矩形 ABCD 中，∠B = 90°；FM ⊥ AC，∴ ∠AMF = ∠B = 90°；
    ∵ ∠BAC = ∠EAF，∴ ∠BAE = ∠MAF；又 AE = AF，
    ∴ △ABE ≌ △AMF (AAS)，∴ AM = AB = 4；
② 求解 (2) 当 AE = 3√2 时 CF 的长：
    • 若 E 在 BC 上：BE = √(AE² - AB²) = √[(3√2)² - 4²] = √2，FM = BE = √2；
      AC = 5, CM = AC - AM = 1，∴ CF = √(1² + (√2)²) = √3；
    • 若 E 在 CD 上：同理求得 CF = √13；综上 CF 为 √3 或 √13；
③ 探究 (3) DF 的最小值：
    • 当 E 在 BC 上时，点 F 在射线 FM 上运动，过 D 作 DH ⊥ FM，由相似三角形求得 DH = 11/5；
    • 当 E 在 CD 上时，点 F 在直线 RF 上运动，过 D 作 DK ⊥ FR，矩形与三角函数计算得 DK = 3/5；
    ∵ 3/5 < 11/5，∴ DF 的最小值为 3/5。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： DF 的最小值为 3/5（即 0.6）