如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 是 BC 边上一动点，以 AD 为边向右作等腰 Rt△ADE，其中 ∠DAE＝90°，AD＝AE． （1）画出当点 D 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 E 的运动轨迹； （2）若 AB＝6，点 F 为 AB 的中点，连接 EF，求 EF 的最小值．
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 全等构造求轨迹 (1)：以 A 为定点，△ABC 与 △ADE 均为等腰直角三角形，易证 △ABD ≌ △ACE (SAS)，得 ∠ACE = ∠B = 45°。 ∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 45° + 45° = 90°，即 CE ⊥ BC！ 故从动点 E 的轨迹是过点 C 且垂直于 BC 的射线 CF。 2. 极值转化 (2)：F 为 AB 中点（定点），E 在垂线 CE 上运动，由“垂线段最短”，当 EF ⊥ CE 时，EF 取得最小值。 3. 几何计算：作 FM ⊥ BC 于 M，易证四边形 CEFM 为矩形，EF = CM = BC - BM = (9/2)√2。
📝 完整推导与几何证明
① 证明 △ABD ≌ △ACE： ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，∴ ∠BAD = ∠CAE； 在 △ABD 和 △ACE 中，AB = AC, ∠BAD = ∠CAE, AD = AE， ∴ △ABD ≌ △ACE (SAS)，∴ ∠ACE = ∠ABD = 45°； ∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 45° + 45° = 90°，即 CE ⊥ BC； 因此，点 E 的运动轨迹是过点 C 垂直于 BC 的线段 CF； ② 求 EF 最小值： 当 EF ⊥ CE 时，EF 长度最小； 过点 F 作 FM ⊥ BC 于 M，在 Rt△BFM 中，F 是 AB 中点，AB = 6，∴ BF = 3； ∵ ∠B = 45°，∴ BM = BF · cos 45° = 3√2 / 2； 在 Rt△ABC 中，BC = √(6² + 6²) = 6√2； ∵ 四边形 CEFM 为矩形，∴ EF = CM = BC - BM = 6√2 - 3√2 / 2 = 9√2 / 2 = 4.5√2。