📡 动点实时遥测
主动点进度 t:
0.200
📌 原题题干
如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是直线 AB 上一点．将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 60° 得到线段 DE，连接 BE．
（1）若点 D 在 AB 边上，证明 AD＝BE；
（2）连接 AE，当 AE 的长最小时，求 CD 的长．
（1）若点 D 在 AB 边上，证明 AD＝BE；
（2）连接 AE，当 AE 的长最小时，求 CD 的长．
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 手拉手全等证明 (1)：△ABC 与 △CDE 均为等边三角形，CA = CB, CD = CE, ∠ACB = ∠DCE = 60°，故 ∠ACD = ∠BCE，可证 △ACD ≌ △BCE (SAS)，得到 AD = BE。
2. 瓜豆原理定 E 轨迹 (2)：由全等得 ∠CBE = ∠A = 60°。因为点 B、C 均为定点，故从动点 E 在过点 B 且与 BC 成 60° 角的定直线 BE 上运动！
3. AE 最小位置：A 为定点，E 在直线 BE 上运动，根据“垂线段最短”，当 AE ⊥ BE 于点 F 时，AE 达到最小值。
4. 求 CD 的长：在极值时刻，CD = CE = CF，由直角三角形勾股定理计算出 CD = 2√7。
2. 瓜豆原理定 E 轨迹 (2)：由全等得 ∠CBE = ∠A = 60°。因为点 B、C 均为定点，故从动点 E 在过点 B 且与 BC 成 60° 角的定直线 BE 上运动！
3. AE 最小位置：A 为定点，E 在直线 BE 上运动，根据“垂线段最短”，当 AE ⊥ BE 于点 F 时，AE 达到最小值。
4. 求 CD 的长：在极值时刻，CD = CE = CF，由直角三角形勾股定理计算出 CD = 2√7。
📝 完整推导与几何证明
① 证明 (1) AD = BE：
∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB = BC = AC, ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°；
∵ CD 绕点 D 顺时针旋转 60° 得 DE，∴ CD = DE 且 ∠CDE = 60°，∴ △CDE 为等边三角形；
∴ CD = CE, ∠DCE = 60°；
∴ ∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即 ∠ACD = ∠BCE；
在 △ACD 和 △BCE 中，AC = BC, ∠ACD = ∠BCE, CD = CE，
∴ △ACD ≌ △BCE (SAS)，∴ AD = BE；
② 求解 (2) AE 最小时 CD 的长：
由 △ACD ≌ △BCE，得 ∠CBE = ∠A = 60°；
∴ ∠ACB = ∠CBE = 60°，∴ AC ∥ BE；
点 E 的运动轨迹是定直线 BE；
过点 A 作 AF ⊥ BE 交 EB 延长线于 F，当点 E 与 F 重合时，AE 最短；
此时 AF ⊥ BE，又 AC ∥ BE，∴ AF ⊥ AC；
在 Rt△ABF 中，AB = 4，∠ABF = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ AF = AB · sin 60° = 4 × (√3 / 2) = 2√3；
在 Rt△ACF 中，CF = √(AC² + AF²) = √[4² + (2√3)²] = √(16 + 12) = √28 = 2√7；
此时 CD = CE = CF = 2√7。
∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB = BC = AC, ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°；
∵ CD 绕点 D 顺时针旋转 60° 得 DE，∴ CD = DE 且 ∠CDE = 60°，∴ △CDE 为等边三角形；
∴ CD = CE, ∠DCE = 60°；
∴ ∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即 ∠ACD = ∠BCE；
在 △ACD 和 △BCE 中，AC = BC, ∠ACD = ∠BCE, CD = CE，
∴ △ACD ≌ △BCE (SAS)，∴ AD = BE；
② 求解 (2) AE 最小时 CD 的长：
由 △ACD ≌ △BCE，得 ∠CBE = ∠A = 60°；
∴ ∠ACB = ∠CBE = 60°，∴ AC ∥ BE；
点 E 的运动轨迹是定直线 BE；
过点 A 作 AF ⊥ BE 交 EB 延长线于 F，当点 E 与 F 重合时，AE 最短；
此时 AF ⊥ BE，又 AC ∥ BE，∴ AF ⊥ AC；
在 Rt△ABF 中，AB = 4，∠ABF = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ AF = AB · sin 60° = 4 × (√3 / 2) = 2√3；
在 Rt△ACF 中，CF = √(AC² + AF²) = √[4² + (2√3)²] = √(16 + 12) = √28 = 2√7；
此时 CD = CE = CF = 2√7。
🎯 最终标准答案
🏆 结论：
当 AE 最小时，CD 的长为 2√7（约 5.292）