【实战演练9】菱形对角线动点旋转30°与CG最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠B＝120°，E 是 BC 的中点，F 是对角线 AC 上的动点，连接 EF，将线段 EF 绕点 F 按逆时针旋转 30°，G 为点 E 对应点，连接 CG，则 CG 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 动点与轨迹分析：F 为主动点（在对角线 AC 上运动），E(2,0) 为 BC 中点。EF 绕 F 逆时针旋转 30° 到 FG。
2. 全等构造：取 CD 中点 K，易证 △FCK ≌ △FCE (SAS)，从而 FK = FE。
又由旋转知 FG = FE，故 FE = FG = FK，点 F 为 △EGK 的外心！
3. 轨迹角度确定：由圆心角定理得 ∠EKG = 1/2 ∠EFG = 15°。结合 ∠CKE = 60°，得 ∠CKJ = 45°，即点 G 恒在过点 K 且与 CD 夹角为 45° 的直线 KJ 上运动！
4. 极值求解：作 CH ⊥ KJ 于 H，由垂线段最短可知，CG 的最小值为 CH = CK · sin 45° = 2 × (√2 / 2) = √2。

📝 完整推导与几何证明

① 如图取 CD 的中点 K，连接 FK, KG, EK，延长 KG 交 BC 于 J，作 CH ⊥ JK 于 H：
    ∵ 菱形 ABCD 中，∠B = 120°，∴ ∠DCB = 60°，CB = CD = 4；
    ∵ E 为 BC 中点，K 为 CD 中点，∴ CE = CK = 2，△ECK 是等边三角形；
    ∵ AC 是对角线，平分 ∠DCB，∴ ∠FCK = ∠FCE = 30°；
    在 △FCK 和 △FCE 中，CF = CF, ∠FCK = ∠FCE, CK = CE，
    ∴ △FCK ≌ △FCE (SAS)，∴ FK = FE；
② ∵ 将 EF 绕 F 逆时针旋转 30° 得 FG，∴ FE = FG = FK 且 ∠EFG = 30°；
    由圆周角定理：∠EKG = 1/2 ∠EFG = 15°；
    ∵ ∠CKE = 60°，∴ ∠CKJ = ∠CKE - ∠EKG = 60° - 15° = 45°；
    ∴ 点 G 恒在与 CD 成 45° 夹角的定直线 KJ 上运动；
③ 求 CG 最小值：
    在 Rt△CKH 中，∠CKH = 45°，∠CHK = 90°，CK = 1/2 CD = 2，
    ∴ CH = CK · sin 45° = 2 × (√2 / 2) = √2；
    故 CG 的最小值为 √2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： CG 的最小值为 √2（约 1.414）