【实战演练1】矩形动点旋转45°与CG最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，长方形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45° 到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为（）
A. 2 B. 1 + 3√2/2 C. 2√2 D. 5/2

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 动点与定点：E(1,0) 为定点，F 为主动点（在边 AB 上运动），G 为从动点。
2. 瓜豆旋转变换：EF 绕 E 顺时针旋转 45° 得到 EG，EF = EG 且 ∠FEG = 45°。
将主动点所在线段 BE 绕点 E 顺时针旋转 45° 得到线段 ET，易证 △EBF ≌ △ETG (SAS)。
3. 轨迹确定：由全等得 ∠ETG = ∠B = 90°，故从动点 G 在过点 T 且垂直于 ET 的定射线 TG 上运动！
4. 极值转化：C 为定点，当 CG ⊥ TG 时，CG 取最小值。连接 DE 交 CG 于 J，可得四边形 ETGJ 为矩形，CG_min = CJ + GJ = 1 + 3√2/2。

📝 完整推导与几何证明

① 将线段 BE 绕点 E 顺时针旋转 45° 得到线段 ET，连接 GT，连接 DE 交 CG 于 J：
    ∵ 矩形 ABCD 中，AB = CD = 3, ∠B = 90°，BE = 1, BC = 4，∴ CE = CD = 3；
    ∵ ∠BET = ∠FEG = 45°，∴ ∠BEF = ∠TEG；
    在 △EBF 和 △TEG 中，EB = ET, ∠BEF = ∠TEG, EF = EG，
    ∴ △EBF ≌ △TEG (SAS)，∴ ∠ETG = ∠B = 90°；
② ∴ 点 G 在射线 TG 上运动，当 CG ⊥ TG 时，CG 达到最小值；
③ ∵ CE = CD = 3，∠C = 90°，∴ △CDE 为等腰直角三角形，∠CED = 45°；
    ∴ ∠TEJ = 180° - ∠BET - ∠CED = 180° - 45° - 45° = 90°；
    又 ∠ETG = 90°，∠CGT = 90°，∴ 四边形 ETGJ 是矩形！
    ∴ GJ = TE = BE = 1，DE ∥ GT，CJ ⊥ DE；
④ 在等腰 Rt△CDE 中，斜边 DE = 3√2，故斜边上的高 CJ = 1/2 DE = 3√2 / 2；
⑤ ∴ CG_min = CJ + GJ = 1 + 3√2 / 2。
故选 B。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： CG 的最小值为 1 + 3√2/2（故选 B）