主动点 P 角度:
120.0°
📋 原题题干
【变式2-2】如图，AB＝4，O 为 AB 的中点，⊙O 的半径为 1，点 P 是 ⊙O 上一动点，以 PB 为直角边的等腰直角三角形 PBC（点 P、B、C 按逆时针方向排列），则线段 AC 的长的取值范围为 √2 ≤ AC ≤ 3√2 ．
📊 实时几何数值监测
圆心距 AO'
2.83 (2√2)
轨迹半径 r
1.41 (√2)
AC 极值区间
[1.41, 4.24]
线段 AC 实时长度
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- 第一步（按原图直角顶点 P 分析）：
如图标示 ∠BPC = 90°，PB = PC，且 P、B、C 逆时针排列。以定点 B 为旋转中心，BC 是由 BP 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得到。 - 第二步（确定轨迹圆圆心 O' 与半径 r）：
将圆心 O 绕点 B 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得到点 O'，则 OO'⊥AB 且 OO' = OB = 2，轨迹圆 ⊙O' 的半径 r = √2 × 1 = √2。连接 AO'，由勾股定理得 AO' = √(2² + 2²) = 2√2。 - 第三步（计算 AC 的取值范围）：
由圆外一点到圆上距离最值定理：
最小值 ACmin = AO' - r = 2√2 - √2 = √2；
最大值 ACmax = AO' + r = 2√2 + √2 = 3√2。
（注：若分类讨论 ∠PBC=90°，则 O 绕 B 顺时针旋转 90° 得 O'，此时 AO'=2√5，r=1，范围为 [2√5-1, 2√5+1]。）
最终答案：√2 ≤ AC ≤ 3√2