【实战演练6】直角三角形动点旋转60°与BF最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 边上，BC＝5，CD＝2，点 E 是边 AC 所在直线上的一个动点，连接 DE，将 DE 绕点 D 顺时针方向旋转 60° 得到 DF，连接 BF，则 BF 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点分析：点 D 为定点（在 BC 上，CD = 2, BC = 5，故 BD = 3），E 为主动点（在直线 AC 上运动），F 为从动点。
2. 手拉手全等构造：DE 绕点 D 顺时针旋转 60° 得到 DF，DE = DF 且 ∠EDF = 60°。
以 BD 为边向右上方作等边△DBH，连接 EH，易证 △DHE ≌ △DBF (SAS)。
3. 线段等量转移：由全等得 BF = EH！求 BF 最小值直接转化为求 EH 的最小值！
4. 极值求解：H 为定点，E 在定直线 AC 上运动，根据“垂线段最短”，当 EH ⊥ AC 时，EH 取得最小值 7/2 = 3.5。

📝 完整推导与几何证明

① 以 BD 为边作等边三角形 DBH，连接 EH，过点 H 作 HN ⊥ BD 于 N：
    ∵ BC = 5, CD = 2，∴ BD = BC - CD = 3；
    ∵ △DHB 是等边三角形，HN ⊥ BD，
    ∴ DN = BN = 3/2 = 1.5，DB = DH = 3，∠HDB = 60°；
    ∴ CN = CD + DN = 2 + 1.5 = 3.5；
② 证明全等：
    ∵ ∠EDF = ∠HDB = 60°，∴ ∠EDH = ∠FDB；
    又 DE = DF, DH = DB，∴ △DHE ≌ △DBF (SAS)，∴ EH = BF；
③ 求 EH（即 BF）的最小值：
    由垂线段最短可知：当 EH ⊥ AC 时，EH 取得最小值；
    此时，∵ EH ⊥ AC, ∠ACB = 90°, HN ⊥ BC，∴ 四边形 CNHE 是矩形；
    ∴ EH = CN = 7/2 = 3.5。
故 BF 的最小值为 7/2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： BF 的最小值为 7/2（即 3.5）