【实战演练7】矩形对角线相似手拉手与CE长

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，矩形 ABCD 中，AD＝6，DC＝8，点 E 为对角线 AC 上一动点，BE⊥BF，BE/BF＝4/3，BG⊥EF 于点 G，连接 CG，当 CG 最小时，求 CE 的长．

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 动点与几何构型：B 为定点，E 为主动点（在对角线 AC 上运动），G 为从动点。
2. 手拉手相似变换：过 B 作 BP ⊥ AC 于 P。易证 △ABC ∽ △EBF，从而 △ABP ∽ △EBG。
进而推出 △ABE ∽ △PBG，得到对应角 ∠BPG = ∠BAE = ∠BAC（恒定不变）！
3. 从动点 G 轨迹：定点 P，定角 ∠BPG，故点 G 始终在与 PB 夹角为定角的定直线 PG 上运动！
4. 极值条件：C 为定点，当 CG ⊥ PG 时，CG 取得最小值。由几何比例解得 CE = 32/5 = 6.4。

📝 完整推导与几何证明

① 过点 B 作 BP ⊥ AC 于点 P，连接 PG：
    在矩形 ABCD 中，AD = BC = 6, DC = AB = 8，∴ AC = √(6² + 8²) = 10；
    ∵ BE/BF = 4/3 = AB/BC，且 ∠ABC = ∠EBF = 90°，∴ △ABC ∽ △EBF；
    ∴ ∠CAB = ∠FEB；又 ∠APB = ∠EGB = 90°，∴ △ABP ∽ △EBG；
    ∴ AB/PB = EB/GB = 5/3，且 ∠ABP = ∠EBG，故 ∠ABE = ∠PBG；
    ∴ △ABE ∽ △PBG，∴ ∠BPG = ∠BAE = ∠BAC；
② 在点 E 运动过程中，∠BPG 的大小始终不变且等于 ∠BAC，故点 G 在定直线 PG 上运动；
③ 求 CG 达到最小时的 CE：
    由垂线段最短，当 CG ⊥ PG 时，CG 最小；
    此时 ∠PCG = 90° - ∠CPG = ∠BPG = ∠BAC，设 AE = x，则 PG = (3/5) x；
    由 CP/PG = 5/3，解得 CP = x；
    又 CP = BC · sin ∠BAC = 6 × (6/10) = 18/5；
    ∴ x = 18/5，即 AE = 18/5，故 CE = AC - AE = 10 - 18/5 = 32/5 = 6.4。

🎯 最终标准答案

🏆 结论：当 CG 最小时，CE 的长为 32/5（即 6.4）