【变式 2-1】瓜豆原理之曲线型 · 动态几何演示 定比 1:√2定角 45°

📋 原题题干

📊 实时几何数值监测

💡 完整图文解析步骤与答案

• 第一步（转换为以定点 B 为中心的瓜豆关系）：
  动点 P 在以 M 为圆心、R=1 为半径的圆上。因为 PB 绕点 P 逆时针旋转 90° 得 PC，故 △BPC 为等腰直角三角形（∠BPC=90°）。以定点 B 为基准，从动点 C 是由主动点 P 绕定点 B 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得到（BC : BP = √2 : 1，∠PBC = 45°）。
• 第二步（构造从动点 C 的轨迹圆）：
  将圆心 M（MB=2）绕定点 B 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得到轨迹圆心 M'，则 △BMM' 为等腰直角三角形（∠BMM'=90°，MM'=BM=2），轨迹半径 r = √2 R = √2。
• 第三步（计算 AC 的最大值）：
  在 Rt△AMM' 中，AM = 2，MM' = 2，∠AMM' = 90°，故 AM' = 2√2。
  当 A、M'、C 三点共线时，AC_max = AM' + r = 2√2 + √2 = 3√2 ≈ 4.24。