【实战演练3】直角三角形动圆半圆中点与AQ最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，点 D 在 BC 上，且 CD＝2，点 P 是线段 AC 上一个动点，以 PD 为直径作 ⊙O，点 Q 为直径 PD 上方半圆的中点，连接 AQ，则 AQ 的最小值为（）
A. 2√10 B. 2√2 C. 4 D. 4√2

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 隐圆与特殊角构造：⊙O 以 PD 为直径，点 Q 为上方半圆中点，故弧 PQ = 弧 DQ，OQ ⊥ PD，∠PQD = 90°，PQ = QD，即 △PDQ 恒为等腰直角三角形！
2. 瓜豆定角转化：因为 Q 在以 PD 为底的等腰直角三角形顶点，根据圆周角性质，∠QCD = 1/2 ∠QOD = 45° 恒成立！
3. 从动点 Q 轨迹：定点 C(0,0)，点 D(0,2)，∠QCD 始终为定角 45°，且 Q 在 AC 右上方，因此点 Q 恒在过点 C 且与 CD 夹角为 45° 的射线 CT 上运动！
4. 求 AQ 最小值：A 为定点，Q 在射线 CT 上运动，过点 A 作 AT ⊥ CT 于 T，垂线段 AT 的长即为 AQ 的最小值。

📝 完整推导与几何证明

① 分析 △PQD 与 ∠QCD：
    ∵ Q 为半圆弧的中点，∴ OQ ⊥ PD，∠QOD = 90°；
    根据圆周角定理，∠QCD = 1/2 ∠QOD = 45°；
② 确定点 Q 运动轨迹：
    ∵ ∠ACB = 90°，点 D 在 BC 上，点 C 是定点，
    ∴ ∠ACT = ∠ACB - ∠QCD = 90° - 45° = 45°；
    因此，从动点 Q 的运动轨迹是射线 CQ（与 AC 夹角为 45° 的定直线）；
③ 计算 AQ 最小值：
    过点 A 作 AT ⊥ CQ 于 T，交 CQ 的延长线于 T；
    在 Rt△ATC 中，∠ATC = 90°，∠ACT = 45°，AC = 8，
    ∴ AT = AC · sin 45° = 8 × (√2 / 2) = 4√2；
    根据“垂线段最短”，AQ ≥ AT = 4√2。
故选 D。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： AQ 的最小值为 4√2（故选 D）