【实战演练 4】瓜豆原理之曲线型 · 反比例与中点轨迹 定比 2:1中位线逆推 k

📋 原题题干

📊 实时几何数值监测

💡 完整图文解析步骤与答案

• 第一步（瓜豆轨迹与中位线转化）：
  由正比例与反比例函数的中心对称性知，原点 O 是 AB 的中点。又 Q 是 AP 的中点，连接 BP，则 OQ 是 △ABP 的中位线（或取 AC 中点 M，Q 在以 M 为圆心、r=½ 为半径的 ⊙M 上，OM = ½BC），始终有 OQ = ½BP。
• 第二步（由 OQ 最大值求 BC 长度）：
  因为 OQ_max = 3/2，所以 BP_max = 2 × (3/2) = 3。又点 P 在半径 R=1 的 ⊙C 上运动，故 BP_max = BC + R = BC + 1 = 3，解得 BC = 2。
• 第三步（列方程求点 B 坐标及 k 值）：
  设第三象限交点 B(x, 2x)（x<0），已知 C(-2, 0)，由 BC² = 4 得：
  (x + 2)² + (2x)² = 4 ⇒ 5x² + 4x = 0。
  因为 x<0，解得 x = -4/5，则 y = -8/5。故 k = xy = (-4/5)×(-8/5) = 32/25。