主动点 F 角度:
120.0°
📋 原题题干
14．已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，OD⊥AC 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 AE．
（1）求证：AE 与 ⊙O 相切；
（2）连接 BD，若 ED:DO＝3:1，OA＝9，求 AE 的长；
（3）若 AB＝10，AC＝8，点 F 是 ⊙O 任意一点，点 M 是弦 AF 的中点，当点 F 在 ⊙O 上运动一周，则点 M 运动的路径长为 5π ．
（1）求证：AE 与 ⊙O 相切；
（2）连接 BD，若 ED:DO＝3:1，OA＝9，求 AE 的长；
（3）若 AB＝10，AC＝8，点 F 是 ⊙O 任意一点，点 M 是弦 AF 的中点，当点 F 在 ⊙O 上运动一周，则点 M 运动的路径长为 5π ．
📊 实时几何数值监测 (第3问 AB=10)
⊙O 半径 R / 轨迹半径 r
5.00 / 2.50
第(2)问 AE 精确长
9√3 (≈15.59)
弦长 AF / 中位线 NM
0.00 / 2.50
点 M 已走路径长
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- （1）证明 AE 与 ⊙O 相切：
连接 OC。∵ CE 是切线，∴ ∠OCE = 90°。∵ OA = OC，OD⊥AC，∴ OD 平分 ∠AOC（∠AOE = ∠COE）。又 OA = OC，OE = OE，∴ △OAE ≌ △OCE (SAS)，得 ∠OAE = ∠OCE = 90°，即 OA⊥AE，故 AE 与 ⊙O 相切。 - （2）求 AE 的长：
设 DO = x，则 ED = 3x，OE = 4x。在 Rt△OCE 中，由射影定理 OC² = OD·OE 得 9² = x·4x ⇒ x = 9/2，故 OE = 18。
在 Rt△OAE 中，AE = √(OE² - OA²) = √(18² - 9²) = 9√3。 - （3）求弦中点 M 的路径长：
AB = 10 ⇒ ⊙O 半径 R = 5。取 OA 中点 N，由于 M 是 AF 中点，始终有 NM = ½OF = 5/2。故点 M 在以 N 为圆心、r = 5/2 为半径的圆上运动一周，路径长 L = 2πr = 5π。
最终答案：(1)见解析；(2) 9√3；(3) 5π