【实战演练 3】瓜豆原理与圆弧双动点最值演示 圆弧与线段双动点最值之和

📋 原题题干

📊 实时几何数值监测

💡 完整图文解析步骤与答案

• 第一步（求半圆半径 R）：
  在 Rt△ABC 中，AB = √(4²+3²) = 5。设半圆 O 与 AC 切于点 D，连接 OD，则 OD⊥AC，故 OD∥BC。由图知 O 是靠近 A 的三等分点（AO = 5/3，OB = 10/3），故半圆半径 R = OD = ⅓BC = 1。
• 第二步（求 MN 的最小值）：
  过圆心 O 作 OH⊥BC 于 H，交半圆弧于 N₁。因为四边形 CDOH 是矩形，所以 OH = CD = ⅔AC = 8/3。
  当 M 与 H 重合、N 与 N₁ 重合时，MN_min = OH - R = 8/3 - 1 = 5/3。
• 第三步（求 MN 的最大值及两极值之和）：
  BC 上距圆心 O 最远的点为端点 B（OB = 10/3），半圆弧上距 B 最远的点为左端点 N₂（在 OA 上）。
  此时 MN_max = OB + R = 10/3 + 1 = 13/3。
  故最小值与最大值之和 = 5/3 + 13/3 = 6。