【变式2-2】正方形动点等边三角形与CG最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点：E(1,0) 为定点，F 为主动点（在边 AB 上运动），G 为从动点。
2. 瓜豆旋转变换：以 E 为旋转中心，EF = EG 且 ∠FEG = 60°（顺时针旋转 60°）。
将主动点路径所在直线 AB 绕点 E 顺时针旋转 60°，即可得到从动点 G 的运动轨迹直线 HN！
3. 几何求距：C(4,0) 为定点，G 在轨迹直线 HN 上运动，当 CG ⊥ HN 时，CG 达到最小值 5/2 = 2.5。

📝 完整推导与几何证明

① 构造全等求轨迹：
    将 △EFB 绕点 E 顺时针旋转 60° 得到 △EHG，连接 BH，
    可得 △EBH 为等边三角形，HE = BE = 1，∠BEH = 60°，∠GHE = ∠FBE = 90°；
    故点 G 在过点 H 且垂直于 HE 的直线 HN 上运动；
② 计算垂线段长度：
    作 CM ⊥ HN 于 M，作 EP ⊥ CM 于 P，则四边形 HEPM 为矩形；
    ∴ MP = HE = 1，∠HEP = 90°，∠PEC = 180° - 60° - 90° = 30°；
    又 EC = BC - BE = 4 - 1 = 3；
    在 Rt△EPC 中，CP = EC · sin 30° = 3 × 1/2 = 3/2；
    ∴ CM = MP + CP = 1 + 3/2 = 5/2 = 2.5。
③ 故 CG 的最小值为 5/2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： CG 的最小值为 5/2（即 2.5）