【变式2-1】等边三角形与等腰Rt三角形AE最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，等边△ABC 的边长为 4，点 D 是边 AC 上的一动点，连接 BD，以 BD 为斜边向上作等腰 Rt△BDE，连接 AE，则 AE 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点：点 B 为定点，D 为主动点（在边 AC 上运动），E 为从动点。
2. 隐圆与轨迹定理：作 BH ⊥ AC 于点 H。因为 ∠BED = ∠BHD = 90°，所以 B、D、H、E 四点共圆！
3. 轨迹角度确定：由圆周角定理，∠BHE = ∠BDE = 45°。由于 BH ⊥ AC，∠AHB = 90°，因此 HE 恰为 ∠AHB 的角平分线，即从动点 E 在射线 HE 上运动！
4. 求 AE 最小值：A 为定点，E 在定射线 HE 上运动，由“垂线段最短”，当 AE ⊥ HE 时，AE 取得最小值。

📝 完整推导与几何证明

① 过点 B 作 BH ⊥ AC 于 H，作射线 HE：
    ∵ △ABC 是等边三角形，边长为 4，BH ⊥ AC，
    ∴ H 为 AC 中点，AH = CH = 2，BH = 2√3；
② ∵ △BDE 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，∴ ∠BED = 90°，∠BDE = 45°；
③ ∵ ∠BED = ∠BHD = 90°，∴ 点 B、D、H、E 四点共圆；
④ ∴ ∠BHE = ∠BDE = 45°（同弧所对圆周角相等）；
    又 ∠AHB = 90°，∴ ∠AHE = 90° - ∠BHE = 45°；
    故点 E 的运动轨迹是 ∠AHB 的平分线射线 HE；
⑤ 求 AE 最小值：
    当 AE ⊥ HE 时，AE 的长度最小。
    在 Rt△AHE 中，∠AHE = 45°，AH = 2，
    ∴ AE = AH · sin 45° = 2 × (√2 / 2) = √2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： AE 的最小值为 √2（约 1.414）