主动点 P 角度:
120.0°
📋 原题题干
16．如图，直线 y＝﹣5x+5 与 x 轴、y 轴交于 A、C 两点，抛物线 y＝x²+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴另一交点为 B．
（1）求抛物线解析式；
（2）点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，当 S△ABM = (3/5)S△ABC 时，求点 M 的坐标；
（3）如图2，以 B 为圆心，2 为半径的 ⊙B 与 x 轴交于 E、F 两点（F 在 E 右侧），P 是 ⊙B 上一动点，以 PA 为腰作等腰 Rt△PAD（∠PAD＝90°，P、A、D 逆时针），连接 FD，求 FD 长度的取值范围．
（1）求抛物线解析式；
（2）点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，当 S△ABM = (3/5)S△ABC 时，求点 M 的坐标；
（3）如图2，以 B 为圆心，2 为半径的 ⊙B 与 x 轴交于 E、F 两点（F 在 E 右侧），P 是 ⊙B 上一动点，以 PA 为腰作等腰 Rt△PAD（∠PAD＝90°，P、A、D 逆时针），连接 FD，求 FD 长度的取值范围．
📊 实时几何数值监测
轨迹圆心 B' 坐标
(1.00, 4.00)
圆心距 B'F (F为(7,0))
7.21 (2√13)
等腰直角腰长 PA=AD
0.00
线段 FD 实时长度
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- （1）求抛物线解析式：
由 y = -5x + 5 得 A(1, 0)，C(0, 5)。代入 y = x² + bx + c 得 c = 5，1 + b + 5 = 0 ⇒ b = -6。故抛物线为 y = x² - 6x + 5。 - （2）求点 M 的坐标：
令 x² - 6x + 5 = 0 得 B(5, 0)，AB = 4。由 S△ABM = (3/5)S△ABC 得 |yM| = (3/5)×5 = 3。因 M 在 x 轴下方，故 yM = -3。解 x² - 6x + 5 = -3 得 x = 2 或 4，即 M(2, -3) 或 (4, -3)。 - （3）利用瓜豆原理求 FD 取值范围：
因 P、A、D 逆时针且 ∠PAD=90°、PA=AD，点 D 是由点 P 绕定点 A(1, 0) 逆时针旋转 90° 得到。将圆心 B(5, 0) 绕点 A(1, 0) 逆时针旋转 90° 得到轨迹圆心 B'(1, 4)，轨迹半径 r = 2。
又 F(7, 0)，故 B'F = √[(7-1)² + (0-4)²] = 2√13。
因此 FD 的取值范围为 2√13 - 2 ≤ FD ≤ 2√13 + 2。
答案：(1) y=x²-6x+5；(2) (2,-3)或(4,-3)；(3) [2√13-2, 2√13+2]