主动点 P 角度:
120.0°
📋 原题题干
13．如图，点 O 在线段 AB 上，OA＝1，OB＝2，以点 O 为圆心、OA 长为半径的圆为 ⊙O，在 ⊙O 上取动点 P，以 PB 为边作 △PBC，使 ∠PBC＝90°，tan∠PCB＝½，P、B、C 三点为逆时针顺序，连接 AC，求 AC 的取值范围．
📊 实时几何数值监测
PB / BC 长度 (1:2)
0.00 / 0.00
圆心距 AO' (3-4-5勾股)
5.00
轨迹圆半径 r (=2R)
2.00
线段 AC 实时长度
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- 第一步（识别定点 B 的旋转缩放关系）：
在 Rt△PBC 中，∠PBC=90°，tan∠PCB = PB / BC = ½，故 BC = 2PB。因为 P、B、C 为逆时针顺序，所以点 C 是由主动点 P 绕定点 B 顺时针旋转 90° 并放大 2 倍得到。 - 第二步（构造从动点 C 的轨迹圆 ⊙O'）：
将圆心 O 绕定点 B 顺时针旋转 90° 并放大 2 倍得到点 O'，则 ∠OBO' = 90°，BO' = 2BO = 4。由两边成比例且夹角相等得 △OBP ∽ △O'BC（相似比 1:2），故 O'C = 2OP = 2。 - 第三步（求 AC 的取值范围）：
在 Rt△ABO' 中，AB = OA + OB = 3，BO' = 4，由勾股定理得 AO' = √(3² + 4²) = 5。
故 ACmin = AO' - r = 5 - 2 = 3，ACmax = AO' + r = 5 + 2 = 7。
最终答案：3 ≤ AC ≤ 7